استراتيجيات القراءة والكتابة الأكاديمية في الجامعة

 

أنواع التوزيع في الاحصاء

التوزيع الطبيعي والتوزيع البرنولي يلعبان أدواراً محورية في الإحصاء والنمذجة الرياضية، حيث يوفر التوزيع الطبيعي نموذجاً للعديد من الظواهر الطبيعية. بينما يقدم التوزيع البرنولي أساساً لفهم الظواهر البسيطة ذات النتائج الثنائية.

التوزيع الطبيعي، المعروف أيضًا بتوزيع جاوس (Gaussian Distribution). هو أحد أهم التوزيعات الاحتمالية في الإحصاء والعديد من المجالات العلمية. يتميز هذا التوزيع بمنحنى جرس (Bell Curve) متماثل يتوسطه المتوسط الحسابي.

التوزيع الطبيعي مهم جداً لأنه العديد من الظواهر الطبيعية والاجتماعية تميل إلى اتباع هذا التوزيع، كما أنه أساس العديد من الاختبارات الإحصائية والاستدلالات.

التوزيع البرنولي هو توزيع احتمالي بسيط يصف تجربة تتكون من نتيجتين فقط: نجاح أو فشل. يُستخدم هذا التوزيع لتصوير ظواهر تحتوي على نتيجتين فقط مثل رمي عملة (ظهور وجه أو كتابة)، اجتياز اختبار (نجاح أو رسوب).

في الإحصاء، يتم استخدام التوزيع البرنولي كأساس للعديد من النماذج والتوزيعات الأخرى. على سبيل المثال، مجموع عدة تجارب برنولية مستقلة يتبع توزيعاً ثنائياً (Binomial Distribution).

 وعندما يكون عدد التجارب كبيراً، يمكن تقريب التوزيع الثنائي بتوزيع طبيعي باستخدام مبرهنة النهاية المركزية.

مبرهنة النهاية المركزية تنص على أنه إذا كان لدينا عدد كبير من التجارب العشوائية المستقلة ذات التوزيع نفسه. فإن متوسط النتائج سيتبع توزيعاً طبيعياً، بغض النظر عن الشكل الأصلي للتوزيع.

اقرأ أيضاً التحليل الاحصائي باستخدام برنامج R - واجبات unit1.

لماذا نلجأ إلى التوزيع الطبيعي المعياري؟

نعلم ان هناك أنواع متعددة للتوزيع منها المنفصل والمستمر وبواسون وبرنولي والأسي. وفي هذه المقالة سنسلط الضوء على نوع آخر من أنواع التوزيع وهو التوزيع الطبيعي المعياري.

التوزيع الطبيعي المعياري هو توزيع احتمالي ذو خصائص محددة وهي متوسطه صفر. انحرافه المعياري 1. له شكل منحنى جرسي متماثل والمساحة الكلية تحت المنحني الطبيعي تساوي الواحد الصحيح كما ان الوسط والمنوال والوسيط لهم القيمة ذاتها في نفس النقطة وهي منتصف أو مركز التوزيع. (فرج الله، 2014، ص240).

ونقول إن للمتغير العشوائي X التوزيع الطبيعي المعياري مع ترميزه بـ N(0,1) .

أي أن المتغير العشوائي X يتوزع وفق التوزيع الطبيعي المعياري بالمعلمتين الوسط الحسابي ويساوي صفر والتباين يساوي 1 (النعيمي وطعمة، 2020، ص8) إذا كانت كثافته الاحتمالية معطاة بالقانون (بوساحة، 2008، ض161).

     {    p(x) = (1/√2ℼ)* e ^((-x^2)/2) بحيث   ꚙ< x < +ꚙ-    }

نلجأ إلى التوزيع الطبيعي المعياري لأسباب متعددة:

1. سهولة الاستخدام.

• حساب احتمالات وقوع الأحداث أسهل بكثير باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري.
• يمكن تحويل أي متغير عشوائي إلى متغير طبيعي معياري باستخدام عملية التحويل المعياري.

2. قابلية التعميم.

• ينطبق التوزيع الطبيعي على العديد من الظواهر الطبيعية والاجتماعية.
• يمكن استخدام التوزيع الطبيعي المعياري لمقارنة مجموعات البيانات المختلفة حتى لو كانت قياساتها مختلفة. ويستخدم لحساب فترة ثقة للوسط الحسابي (مطلق، 2010، ص 92).

3. دقة التنبؤ.

• يمكن استخدام التوزيع الطبيعي المعياري للتنبؤ باحتمالية وقوع الأحداث المستقبلية.
• أثبتت دقة التنبؤات القائمة على التوزيع الطبيعي المعياري في العديد من المجالات. (بداوي ومحمد، 2016، ص57).

أمثلة.

1. قياس ذكاء الطلاب: يتم استخدام اختبارات الذكاء لقياس ذكاء الطلاب. تُوزّع درجات اختبارات الذكاء عادةً وفقًا للتوزيع الطبيعي.
2. قياس ضغط الدم: يتم قياس ضغط الدم بوحدات ملليمتر زئبق. تُوزّع قياسات ضغط الدم عادةً وفقًا للتوزيع الطبيعي.
3. قياس ارتفاع الأشخاص: يتم قياس ارتفاع الأشخاص بوحدات الطول (مثل السنتيمترات أو الأمتار). تُوزّع قياسات ارتفاع الأشخاص عادةً وفقًا للتوزيع الطبيعي. فيمكننا التنبؤ باختيار طالب يتراوح طوله بين 155 سم و165 سم من بين أطوال مجموعة من الطلبة تتوزع طبيعياً بالوسط 160سم وبانحراف معياري 5 سم من خلال اجراء عملية التحويل التوزيع الطبيعي إلى التوزيع الطبيعي المعياري (بداوي ومحمد، 2016، ص57).

في الختام التوزيع الطبيعي المعياري هو أداة قوية لكنه ليس أداة مثالية. ومن المهم فهم حدود استخدام التوزيع الطبيعي المعياري قبل استخدامه.

المراجع.

1. النعيمي، محمد عبد العال وطعمة، حسن ياسين. (2010). الإحصاء التطبيقي. مكتبة المنهل. تم الاسترجاع من الرابط https://platform.almanhal.com/Details/Book/95.
2. بداوي، محمد ودوة، محمد. (2016). الإحصاء المطبق في العلوم الاجتماعية. الأردن/ دار اليازوري العلمية للنشر والتوزيع.
3. بوساحة، حورية. (2008). الإحصاء والاحتمالات. المعهد الوطني لتكوين مستخدمي التربية وتحسين مستواهم. وزارة التربية الوطنية. الجزائر.
4. فرج الله، عبد الكريم موسى أحمد. (2014). مقدمة في الإحصاء التربوي. ط1. الشارقة: دار العلا للنشر والتوزيع.
5. مطلق، حسين علوان. (2010). جمع البيانات وطرق المعاينة. ظ1. الرياض: مكتبة العبيكان.

---------------------------------------------------

مجلة التعلم 

يؤول التوزيع البرنولي إلى التوزيع الطبيعي كلما كان حجم العينة كبيراً نسبياً أي أن ن>٣٠. هل هذه العبارة صحيحة أم لا ولماذا؟

يعتمد التوزيع البرنولي على تجربة ثنائية النتائج أي أن ناتج التجربة إما نجاح (1) أو فشل (0). فهو تجربة عشوائية لها نتيجتين الأولى تمثل احتمال النجاح ونرمز لها بـ p والثانية تمثل احتمال الفشل ونرمز لها بـ (1-p). له دالة كثافة احتمالية منفصلة. له قيمتان فقط: 0 و 1. (حليمة، 2020، ص 89).

أما التوزيع الطبيعي فيعتمد على المتوسط (μ) والانحراف المعياري (σ). له دالة كثافة احتمالية مستمرة. ويعتمد على متغير عشوائي مستمر يمكن أن يأخذ أي قيمة ضمن مجال محدد (كنجو، 2000، ص355).

عندما ن>30:

تصبح تقلبات النتائج (عدد النجاحات) أكثر استقرارًا.

يقترب متوسط عدد النجاحات من p

يقترب الانحراف المعياري لعدد النجاحات من √(p(1-p)).

ومنه فالعبارة المطروحة ليست دقيقة تمامًا وذلك لأن التوزيع البرنولي هو توزيع ثنائي يمثل نجاحًا أو فشلًا بينما التوزيع الطبيعي هو توزيع مستمر. 

عندما يتحدث الأشخاص عادة عن تحول توزيع إلى التوزيع الطبيعي يشيرون في الواقع إلى اقتراب توزيع المتوسط للعينة من التوزيع الطبيعي بزيادة حجم العينة.

ما يُعرف بمبرهنة الحد المركزي ينطبق على تقريب المتوسط لعينات كبيرة من أي توزيع إلى توزيع طبيعي. حيث تعرض نظرية الحد المركزي عند شروط عامة أن كلاً من مجموع ومتوسط عينة عشوائية عند سحبها من مجتمع ما سوف يمتلك عند تكرار هذه العينات لمرات عديدة توزيعاً له شكل الجرس تقريباً.

ويمكن توضيح ذلك من خلال العبارة المبسطة التالية: ( عند سحب عينات عشوائية حجم كل منها n من مجتمع متوسطه μ وانحرافه المعياري σ محدودان فإن توزيع متوسط العينة يتطابق مع التوزيع الطبيعي بمتوسط يساوي μ وانحراف معياري (n√/σ) وتزداد دقة التقريب كلما ازدادت n (كنجو، 2000، ص355).

كما تقول النظرية: أنه بالنسبة لعينة كبيرة بما فيها الكفاية فأن توزيع العينات يكون بتقريب التوزيع الطبيعي والذي يأخذ شكل الجرس وتنطبق هذه النظرية على العينات والمجتمعات الكبيرة فقط والتي تشترط أن تكون n>30 (بليل، 2020، ص16). 

مع العلم أن المتفق عليه أن العينة المناسبة لتحقيق النتائج الجيدة تكون بحجم 30. (الأحمد، 2017 يونيو 1).

لنوضح ذلك بمثال:

بفرض أن لدينا توزيع برنولي مع معدل نجاح p = 0.3 ونريد حساب متوسط 100 عملية تجريبية (عينة) من هذا التوزيع. سنجد أن متوسط العينة يتقارب نحو توزيع طبيعي بزيادة حجم العينة.

وبالتالي فمعدل النجاح (p) = 0.3 وحجم العينة (n) = 100 نستخدم مبرهنة الحد المركزي لحساب متوسط العينة:

متوسط العينة = معدل النجاح (p) = 0.3

ومعيار الانحراف المعياري للعينة = sqrt(p * (1 - p) / n)

= sqrt(0.3 * 0.7 / 100)

≈ 0.046

بموجب مبرهنة الحد المركزي تكون توزيع متوسط العينة تقريبًا طبيعيًا مع متوسط يساوي متوسط العينة وانحراف معياري يقارب 0.046. وهذا يعني أن العينات الكبيرة ستكون أقرب إلى توزيع طبيعي.

في الختام 👈 مع ازدياد حجم العينة في التوزيع البرنولي يمكن تقريبه بالتوزيع الطبيعي. هذا التقريب مفيد في تحليل البيانات وحساب الاحتمالات. لكن يجب الانتباه إلى أن هذه المبرهنة لا تقول بأن التوزيع سيصبح تمامًا متماثلًا للتوزيع الطبيعي عندما يكون حجم العينة كبيرًا بل إنه سيقترب منه تدريجياً.

المراجع.

1.  الأحمد، ناجية. (2017 يونيو 1). نظرية الحد المركزي. أنا أصدق العلم. تم الاسترجاع من الرابط https://www.ibelieveinsci.com/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9-%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%AF-%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%B1%D9%83%D8%B2%D9%8A/
2.  بليل، حسيبة. (2020). مطبوعة دروس وتطبيقات محلولة في مقياس الاحصاء3. ليسانس سنة ثانية. قسم العلوم الاقتصادية. تخصص اقتصاد قياسي. كلبة العلوم الاقتصادية والعلوم التجارية وعلوم التسيير. جامعة الجزائر 3.
3.  حليمة، عز الدين. (2020). محاضرات في الإحصاء (2). مطبوعة موجهة لطلبة السنة الأولى . جذع مشترك علوم اقتصادية. كلية العلوم الاقتصادية والعلوم التجارية وعلوم التسيير. جامعة الجزائر.
4.  كنجو، إسماعيل. (2000). الإحصاء والاحتمال. السعودية: مكتبة العبيكان.