استراتيجيات القراءة والكتابة الأكاديمية في الجامعة

 

كثيرات الحدود والدوال الكسرية في أنشطتنا اليومية.

الدوال كثيرة الحدود والدوال الكسرية يمكن استخدامهم لنمذجة مجموعة كبيرة من ظواهر العلوم والتكنولوجيا وحياتنا اليومية.

الدالة هي عبارة عن علاقة بين قيمتين لنقل (x.y) وبناء على أحد المتغيرين نعرف قيمة المتغير الاخر، وكتشبيه جميل يقدمه الرياضيون هي كالصندوق الذي تعطيه مدخلات معينه ثم يحولها عبر علاقات رياضيه ليعطيك مخرجات معينة.

الدوال متعددة ويمكننا تعريف إحدى أنواعها وهو كثيرات الحدود بأنها تعبيرات جبرية مكونة من إضافة أو طرح بعض معاملات ومتغيرات أحادية الحدود أو اكثر، بالإضافة للأسس الصحيحة الموجبة ونعطي مثال عليها x^2 -5x+8 وتسمى الدالة التربيعية، أي ان كثيرات الحدود هي دوال او تراكيب جبرية رياضية بسيطة (mohe,22 فبراير2022).

اختر نموذج واحد من هذه الظواهر واعطي مثال عليه متمثلة في دالة كثيرة الحدود او دالة كسرية

مثال1.

لنأخذ مثالًا على استخدام دالة كثيرة الحدود في نمذجة ظاهرة علمية. ولنختار حركة جسم ملقى تحت تأثير الجاذبية. في هذا السياق. يمكننا استخدام معادلة حركة السقوط الحر لجسم (الحركة الرأسية للجسم الذي يتساقط بدون أن يتأثر بأي قوة أخرى سوى الجاذبية). والتي يمكن تمثيلها باستخدام دالة كثيرة الحدود.

السقوط الحر هو سقوط الجسم تحت تأثير الجاذبية فقط. بحيث يتسارع عند السقوط نحو الأرض بمعدل ثابت. تقدر قيمته بـ ( 9.8) m/s2 ويطلق عليه مصطلح تسارع الجاذبية الأرضية (الصالح، 21 مايو 2023).

سنستخدم إحدى المعادلات الحركة المرتبطة بالسقوط الحر والمناسبة لمثالنا. علماً أنه وفي حالة التعامل مع معادلات السقوط الحر في الفيزياء فإنّ تسارع الجاذبية يكون دائمًا للأسفل لذلك تُعوض قيمته بالمعادلات ج= −9.8 م/ث^2 (هارون، 25 يونيو 2019).

ونختار الدالة المناسبة بعد افتراض أن لدينا جسم يتساقط بداية من ارتفاع (h0=1) بسرعة صفرية. ونريد تمثيل ارتفاع الجسم فوق سطح الأرض (h) في الزمن (t) . فإن معادلة الحركة تكون كالتالي.

h(t) - h0 = v0 * t -(1/2) * g * t^2

حيث.

• h(t) هو ارتفاع الجسم في الزمن (t).
• ( h0) هو الارتفاع الأولي ويساوي1 (فرضاً) . والسرعة الأولية صفر.
• ( g) هو تسارع الجاذبية (تقريبًاm/s2 -9.8).
• V0 = هي السرعة الابتدائية وتساوي الصفر عادة.

أي الدالة تصبح بالشكل.

h(t) = h0 - (1/2) * g * t^2 .

وبتعويض تسارع الجاذبية الأرضية بقيمته نجد.


h(t) = h0 - (9.8/2) * t^2 .



هذه دالة كثيرة الحدود تمثل ارتفاع الجسم مع مرور الوقت أثناء حركته الناجمة عن الجاذبية. وهي تستند إلى قوانين الحركة الرأسية للجسم المتساقط.

وبالتالي فإن كثيرات الحدود هي الدوال التي تستخدم لتمثيل العلاقة بين متغيرين مستقلين. مثل الارتفاع (h) والزمن (t) في الداله المذكورة. وهي تستخدم لتحديد قيمة متغير مستقل (مثل الزمن). عندما يكون متغير آخر (مثل الارتفاع) محددًا.

ومن جهة اخرى في حالة الدالة التي تمثل ارتفاع الجسم في الزمن. فإن كثيرات الحدود يمكن استخدامها لحساب قيمة الزمن عندما يكون الارتفاع محددًا.

وبتطبيق المعادلة في برنامج الأكسل. وحساب قيمة الزمن عند ارتفاعات متغيرة توافق سقوط الجسم للأسفل. ينتج لينا القيم المبينة في الجدول التالي:

بالنقر على رابط الالة الحاسبة التالي: https://www.desmos.com/calculator .

نقوم بكتابة المعادلة او الدالة ونوضح الحل باستخدام الرسم البياني التالي.

https://www.desmos.com/calculator/rhazwzq7dy .


ونلاحظ أن الرسم مطابق للحلول الجبرية لمعادلة تغير الزمن مع تغير الارتفاع في مثالنا السابق.

علماً أن الحل الجبري يوضح ان t^2 لها قيميتين سالبة وموجبة ولكن في هذه الحالة. لا يمكننا استخدام القيمة السالبة للزمن. لأن الزمن لا يمكن أن يكون قيمة سالبة. لذلك نستخدم القيمة الموجبة فقط لحساب الزمن عند الارتفاع.

الخط البياني الممثل للمعادلة السابقة هو منحني. حيث أنه يمثل علاقة غير خطية بين الزمن والارتفاع عند ثبات تسارع الجاذبية.

اقرأ أيضاً الرسومات البيانية والدوال الخطية والتربيعية - واجبات Unit 2 الجبر الجامعي.

مثال 2.

ويدخل استخدام الدوال الرياضية في مجالات عدة في حياتنا العملية. ومن خلال تطبيقها يمكن معرفة أمور عدة منها ما يتعلق بعدادات السرعة للسيارات. 

ومنها ما يتعلق بالعلاقات بين المدخلات والمخرجات من المشاريع الاستثمارية وصولاً إلى حساب التضخم السكاني. والعلاقة بينه وبين نسبة البطالة والتعلم والاستهلاك والادخار وكل ما يتعلق.

ومن خلال الدوال التربيعية يمكن حساب المدى الذي ستصل إليه القذيفة مما يمكن من تحديد الأهداف بدقة.

والمثال على الدوال كثيرة الحدود هي دالة التكاليف:

هي الدالة التي تمثل التكاليف الكلية الخاصة لإنتاج وحدة واحدة من منتج ما أو خدمة معينة. ويشمل ذلك تكاليف العمال والبناء والمواد الأولية وما إلى هنالك. ويمكن تمثيل هذه الدالة بواسطة F(x) حيث إن (x)عدد الوحدات المنتجة أو الخدمة المقدمة.

على سبيل المثال إذا أردنا إنشاء مصنع لصناعة الحواسيب. تكمن التكلفة الأولية لأجار المصنع مع المواد الأولية مع أجار العمال (650) ألف دولار. وتكلفة الجهاز الواحد من الحواسيب 0.7 دولار. فتكون الدالة المعبرة عن التكاليف عبارة عن f(x)=x+650.

حيث أن (x) يمثل عدد الأجهزة المصنعة و (f(x)) التكلفة الاجمالية.
أما إذا أردنا حساب متوسط التكلفة الكلية لكل قطعة فيمكنا من خلال الدالة الكسرية التي تتألف من نسبة دالتين لبعضهما وتكتب على الشكل العام التالي :

f(x)= (g(x))/(h(x)) .

ويشترط حتى تكون هذه الدالة معرفة أن المقام لا يساوي الصفر.

ومنه فإن متوسط التكلفة الكلية لكل قطعة. هو التكلفة الكلية مقسومة على عدد القطع ويعبر عنها من خلال دالة معينة ونفترض g(x) .

g(x)=f(x) / x = (x+650) / x .

وهذه الدالة معرفة عندما x≠0.

ويمكن ملاحظة التمثيل البياني للدالتين السابقتين.

https://www.desmos.com/calculator/hnszja4j9b ,

وانطلاقاً من هذا المثال البسيط. نلاحظ أهمية هذه الدالة بالنسبة للحياة التطبيقية ودورها في التأثير في اتخذ قرارت مهمة.

المراجع.

1. الصالح، رند. (2023 مايو 21). شرح السقوط الحر في الفيزياء. موقع الفيزياء. تم الاسترجاع من https://2u.pw/GhxeMtm.
2. هارون، اعتدال. (2019 يونيو 25). معادلات السقوط الحر في الفيزياء. موقع سطور. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/j1TXwtt.
3. Mohe, duaa. (2022 فبراير 22). تعريف دوال كثيرات الحدود وخصائصها. موقع المرسال. تم الاسترجاع من الرابطhttps://www.almrsal.com/post/975626.

مجلة التعلم 3.

تعرف كثيرات الحدود على أنها عبارة جبرية. مكونة من واحد او أكثر من المتغيرات أو ما يسمى العوامل. تجتمع فيما بينها من خلال عمليات الجمع او الطرح أو الضرب بالإضافة للأسس الصحيحة غير السالبة.
ومثال عليها العبارة الجبرية التالية: (مجدي، 2020 فبراير 24).

f(x)= (x^2-x+2)/(3x-1)

تعتبر كثيرات الحدود جزءًا مهماً في علم الرياضيات والجبر. وهي تستخدم في مختلف المجالات الرياضية للتعبير عن الأعداد. كنتيجة للعمليات الرياضية المختلفة. يتم التعبير عن كثيرات الحدود بشكل عام في شكل حاصل ضرب المتغيرات والمعاملات.

بشرط أن يكون لكل معامل أو متغير قوة (أس) غير سالبة (الصالح، 2021).

يقال عن الدالة السابقة f(x) أنها كسريةً. لأنه يمكن تمثيلها بصورة كسر فيه حدي الكسر يمثلان كثير حدود كالتالي.

f(x)=(P(x))/(Q(x))=(x^2-x+2)/(3x-1)

حيث: كل منQ وP كثيرا حدود.

ماهي المفاهيم التي احتجت إليها لاستيعاب مفاهيم الدوال كثيرة الحدود والكسرية؟

مفاهيم الدوال كثيرة الحدود والكسرية. تعتمد على عدة مفاهيم رياضية أساسية. النقاط الرئيسية تشمل ما يلي:

1. التغير المستمر.

في الدوال كثيرة الحدود والكسرية. يتم تصفية التغير المستمر في القيم العددية. يمكن أن تأخذ هذه الدوال قيمًا غير محدودة في مجال معين. مما يجعلها تعبر عن تغيرات مستمرة للمتغير المستقل.

2. سلوك الدالة عند اللامتناهي (Infinity).

ويفيد في فهم سلوك الدوال كثيرة الحدود. عندما يتجه العامل أو المتغير نحو اللامتناهي.

3. النقطة المفرطة.

تحتاج فهمًا جيدًا لهذه المفهوم. حيث إن النقاط المفرطة هي نقاط تجعل الدالة غير قابلة للتعريف. بسبب قيمة غير مسموح بها في المعادلة الموجودة. 

مثلاً. في الدالة f(x) = 1/x. لا يمكننا تعريف قيمة لـ f(0). لذلك فإن النقطة x=0 تعتبر نقطة مفرطة.

4. التقاطع مع المحورين الأفقي X والعمودي Y.

وهي نقاط تقاطع الدالة مع المحور الأفقي محور(X) والعمودي محور(Y).

5. التفاضل والتكامل. 

عمليتان مهمتان لفهم الدوال.

ما هي أبسط دالة كثيرة الحدود ودالة كسرية تستطيع أن تتخيلهم؟ 

يمكن تصور أبسط دالة كثيرة حدود وأبسط دالة كسرية كالتالي:
يمكن استخدام الدالة f(x) =1⁄x كدالة كثيرة الحدود والدالة g(x) =1⁄x^2 كدالة كسرية.

1. دالة كثيرة الحدود. الدالة f(x) =1⁄x: تتصف هذه الدالة بحدودها عندما يقترب ( x) من الصفر. عند ( x = 0). الدالة تصبح غير معرفة(1/0). ولكنها تقترب من اللامتناهي عندما يتجه ( x) نحو الصفر من الجهة الإيجابية أو السلبية.
2. دالة كسرية. الدالة g(x) =1⁄x^2 هذه الدالة تعتبر كسرية. حيث يكون المتغير في المقام وهو (x) مرفوعاً إلى الأس 2. لايمكن لهذه الدالة التقاطع مع المحور (x) عند (x = 0) . ولكنها تقترب أسرع من اللامتناهي عندما يتجه (x) نحو الصفر.

وفي أنشطتك اليومية هل يوجد أي حقيقة تستطيع تفسيرها كدالة كثيرة الحدود وكسرية؟

أمثلة على الدوال الكسرية وكثيرات الحدود في حياتنا اليومية يمكن أن نذكر مايلي:

بعتبر أسلوب البرمجة الكسرية من الطرق المهمة لحل مشكلة الفعالية. لأنها تشكل أداة مهمة في تخطيط الإنتاج. واتخاذ القرارات المثلى كتقليل التكاليف إو تعظيم الأرباح أو زيادة الطاقة الإنتاجية. حيث إن القرار النهائي يأخذ بناء على قرارات سابقة للمشكلة (رحيمة. 2011).

ويمكن التعبير عن الصيغة العامة لنموذج البرمجة الكسرية بالعبارة الجبرية التالية (رحيمة. 2011):
Max Z= (CX+α)/(DX+β) , . B ≥ AX
بحيث :

• X: متغيرات النموذج الرياضي.
• :α الحد المطلق في دالة البسط.
• β : الحد المطلق في دالة المقام.
• B: مصفوفة ثوابت الطرف الأيمن.
• A: مصفوفة المعاملات للقيود.

ولحل المسألة البرمجية يجب توفر الشرطين: DX+β ≠ 0 , DX+β = θ(CX+α) .

حيث إن Ф كمية ثابتة.

ماهي الاستراتيجية التي ستتبعها لرسم الدوال كثيرة الحدود والكسرية؟

بالنسبة لاستراتيجية رسم الدوال كثيرة الحدود والكسرية. يمكنك اتباع الخطوات التالية:

1. تحليل السلوك عند نقطة التقاطع: عندما تتقاطع الدالة مع المحور x. فحص السلوك حول هذه النقاط. هل تتجاوز الدالة الصفر أو تكون إيجابية أو سلبية في هذه المناطق؟
2. تحديد الحدود: ابدأ بتحديد النقاط المهمة حيث يمكن أن يكون الحد مهمًا. افحص السلوك عندما يتجه المتغير نحو اللامتناهي أو عندما يتجه نحو قيمة معينة.
3. تحديد النقاط الحرجة: ابحث عن النقاط التي تحدد سلوك الداله. مثل النقاط التي يتوقف فيها تغير الدالة أو تتغير فيها المنحنى بشكل كبير.
4. دراسة التقارب: فحص كيفية تقارب الدالة لقيمة معينة. استخدم الحدود لتحديد ما إذا كانت الدالة تتقارب أو تبتعد عن قيمة معينة.
5. رسم المنحنى التابع للدالة: استخدم النقاط المحددة في الخطوة السابقة لرسم المنحنى بدقة.
6. تحديد التغيرات المهمة الأخرى: ابحث عن أي نقاط تحول أو انفصال مهمة. ورسمها على الرسم البياني.

في الختام يمكن الاستنتاج أن هذه الدوال تُظهِر أهمية فهم الحدود والسلوك حول الصفر في دراسة الدوال كثيره الحدود والكسريه. وقد وضحت بعض المفاهيم الأساسية والاستراتيجيات التي يمكن أن تساعدني في فهم ورسم الدوال كثيرة الحدود والكسرية بشكل أفضل

المراجع.

1. رحيمة، رشيد بشير. (2011). صياغة وحل نماذج البرمجة الكسرية باستخدام طريقة لاكرانج المطورة. المجلد5. العدد 7. العراق: مجلة علوم ذي قار.
2. رند الصالح. (2021 أغسطس 29). بحث عن كثيرات الحدود. موضوع. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/8a3jnMk.
3. مجدي، مروى. (2020 فبراير 24). بحث عن كثيرات الحدود. موقع رائد. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/os2s6.