استراتيجيات القراءة والكتابة الأكاديمية في الجامعة

 

الدوال المركبة والمعكوسة.

الدوال المركبة والدوال المعكوسة هي مفاهيم هامة في الرياضيات وعلوم الحساب. تتيح لنا هذه المفاهيم تكوين دوال جديدة والتلاعب بها لإيجاد حلول لمجموعة متنوعة من المسائل. سواء كنت تعمل في الرياضيات. أو العلوم الطبيعية. أو الهندسة أو أي مجال آخر ينطوي على تحليل البيانات والنماذج الرياضية. 

فإن الفهم الجيد للدوال المركبة والدوال المعكوسة. يمكن أن يكون له تأثير كبير على قدرتك على حل المسائل وفهم الظواهر الرياضية المختلفة.

تعرف العلاقات العكسية بانها تلك المجموعة المرتبة من الأزواج. والتي نستطيع ان نحصل عليها من خلال التبديل لكل من الاحداثيات في الزوج المرتب. فيكون مدى العلاقة الأولى هو مجال العلاقة المعكوسة. ومجال العلاقة الاصلية هو مدى العلاقة المعكوسة (الاسمري، 2017).

الدوال المركبة والعكسية.

تعريف الدالة المركبة.

وهي الدوال التي يمكن دمجها في أشكال مركبة. والتراكب في الرياضيات هو مصطلح يعني أن نتيجة الدالة الأولى تعتمد على الدالة الثانية. أي أنه بأخذ الدالتين g y و f x _ y كمثال. 

فإن تركيب هاتين الدالتين يكون عن طريق حساب قيمة g عندما يكون مدخل هذه القيمة هو f (x). وليس هذا هو الحال عندما يكون المدخل لهذه القيمة هو x. وتعتبر دراسة الدوال المركبة المدخل الأساسي لدراسة التغير (خليل، ٢٠٢١).

ما مفهوم الدالة العكسية؟

فهي تعد داله رياضية أعطيت هذا الاسم . لأن فيها العناصر الموجودة في نقطة بداية الدالة تكون مقلوبة باتجاه الحقول المقابلة لها. فعلى سبيل المثال إذا كانت الدوال متشابهة. مثل A إلى B. 

فإن الدالة العكسية هي B إلى A. ومن خصائص الدوال العكسيه هي الوحدة. مما يعني أن الدالة العكسية فريدة ولا يوجد أكثر من دالة عكسية واحدة (خليل، ٢٠٢١).

ما معنى أن الدالة عكسية للداله؟

الدالة المركبة: f:X≫Y,g:Y≫Z→(f∘g):X≫Z→f∘g(x)=f(g(x))

الدوال العكسية: f:X≫Y→f^(-1):Y≫X

حتى يكون للدالة دالة عكسية يجب أن تكون: متناظرة وفق المحور.

اقرأ أيضاً الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية - واجبات Unit5 جبر جامعي.
اقرأ أيضاً  الدوال المثلثية وترتيب الأرباع - واجبات Unit7 جبر جامعي.

الجزء الأول.

ماذا سيحدث إذا قمت برسم دالتين عكسيتين f , f^(-1) على نفس مجموعة المحاور باستخدام المحور x كمعطى لـ f , f^(-1)؟

عند رسم الدالة f و f^-1 على نفس مجموعة المحاور. ستكون هناك تماثل حول المستقيم y = x. يعني ذلك أن النقاط التي تمثل القيم المدخلة x في الدالة f ستتواجد على المحور الرأسي (y-axis). 

بنفس الموضع التي ستتواجد فيها النقاط التي تمثل القيم المقابلة لها في f^-1 على المحور الأفقي (x-axis). والعكس صحيح أيضًا. بالتالي. يتم رسم منحنى يمثل العلاقة العكسية بين المدخلات x والقيم المقابلة. (التمثيل البياني لمعكوس الدالة ،2023)

والان نقوم بطرح مثال على رسم دالتين عكسيتين وتكون بنفس مجموعة المحاور باستعمال محور x. فتكون على الشكل التالي:

x=y-4

y=x-4

قمنا برسم

f , f^(-1)

الجزء الثاني.

صف العلاقة بين الثلاث منحنيات الخاصة بالدوال التالية.

y =x^3 {-2<x<2}
y=x^(1/3) {-2<x<2}
y=x {-2<x<2}

من خلال النقر على رابط الالة الحاسبة التالي: www.desmos.com/calculator. وكتابة الدوال السابقة سيظهر لدينا المنحنيات الثلاث المبينة في المخطط التالي.

حيث نلاحظ أنه عند تركيبهما ستنتج لدينا الدالة x التي ستكون محور الانعكاس للدالتين المتماثلتين حوله.

وضح بمثال صعوبة رسم الدالتين العكسيتين f , f^(-1) على نفس مجموعة المحاور.

إن رسم الدوال السابقة بيانياً على نفس المحاور كان سهلاً دون أي صعوبات. ولكن يوجد لكل قاعدة شواذ. فبعض الدوال العكسية عند رسمها بيانياً على نفس المحاور. سنجد أنها لا تمثل شكلا متناظراً. كأبسط مثال على دالة عكسية وغير متناظرة هو:

الدالة التربيعية التالية: f(x)=x^2 أو y=x^2

الدالة الجذرية التالية: f^(-1) (g)=√x أو y = √x . 

حيث عند رسم الدالة الجذرية. نجد أنها تكون واضحة ومتزايدة عندما يكون x موجب. ومع ذلك. عندما يكون x سالب. فإن الدالة الجذرية غير معرفة في مجال الأعداد الحقيقية. هذا يعني أنه لا يمكننا رسم الدالة على المحور الأفقي للأعداد السالبة.

الآن. إذا أردنا رسم معكوس الدالة الجذرية على نفس المحاور. يجب أخذ الحذر بسبب التداخل المحتمل للنتائج. على سبيل المثال. إذا اخترنا x = 4 ونقوم بتطبيق الدالة الجذرية على هذا القيمة. فإن النتيجة ستكون y = √4 = 2. 

ولكن عندما نقوم بتطبيق المعكوس على هذه القيمة. فإن النتيجة ستكون x = (√4) -1 = 1/2. وهنا يكمن التداخل. حيث يتم تمثيل القيمة 2 على المحور الأفقي مرتين. مرة كقيمة للدالة الجذرية ومرة كقيمة لمعكوسها.

ونوضح تمثيل الدالتين بالشكل التالي:

الدالة التربيعية التالية: f(x)=x^2 أو y=x^2
الدالة الجذرية التالية: f^(-1) (g)=√x أو y = √x . 

الجزء الثالث.

اذا فرضنا أنه f:R:R دالة مكونة من مجموعة من الأعداد الحقيقية لنفس الدالة التالية: f(x)=x+1 ، f^n=x+n

فيمكننا القول بأنه f^2 تمثل fof. و f^n o f=f^n+1.

هل من الحقيقي f o f^2 f^2 o f=؟

عند f ∘ f2 و f2 ∘ f . يتم تحديد ترتيب تنفيذ الدوال. بما أن الدالتين مختلفتين فسوف يكون هناك تباين في النتيجة النهائية. وبعد الحسابات نجد أن f ∘ f2 = x+3 و f2 ∘ f = x+2.

وبالتالي✅. f ∘ f2 ≠ f2 ∘ f.

السبب في ذلك ❓هو أن ترتيب تطبيق الدوال يؤثر على النتيجة النهائية. في حالة f ∘ f^2. نقوم بتطبيق f أولاً ثم f^2. بينما في حالة f^2 ∘ f نقوم بتطبيق f^2 أولاً ثم f. وهذا يؤدي إلى توليد نتائج مختلفة.

بالتالي. يمكننا استنتاج أن f ∘ f^2 ≠ f^2 ∘ f.

هل المجموعة g:R≫R|(gof)=(fog) غير محدودة؟

المجموعة (g ∘ f = f ∘ g) على R → R ليست محددة وتنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية بشكل عام. السبب في ذلك❓ هو أن ترتيب تطبيق الدوال g و f يؤثر على النتيجة النهائية.

عندما نقول g ∘ f. فإننا نعني تطبيق الدالة f أولاً ثم تطبيق الدالة g على النتيجة. وعندما نقول f ∘ g. فإننا نعني تطبيق الدالة g أولاً ثم تطبيق الدالة f على النتيجة.

إذا g و f هما دالتان مختلفتان. فيكون هناك تباين في النتيجة النهائية بين g ∘ f و) f ∘ g حمدان،2008).

بمعنى آخر❎. المجموعة غير محددة❕❗. يعود ذلك إلى أن المنطلق والمستقر للدالتين هما مجموعة الأعداد الحقيقية. يمكننا لفت النظر إلى إمكانية جعل مدى أي من الدالتين مجالًا للأخرى. حيث يمكن لمجموعة مدى إحداهما أن تشمل مجال الأخرى. 

من خلال مراجعة مجموعة التعريف. نجد أن الدالة g خالية من الجذر والتربيع. مما يعني أن الدالتين هما خطيتان وبالتالي غير محددتان.

في الختام👈 يمكن القول بأن الدوال المركبة والدوال المعكوسة. هي أدوات قوية للتلاعب بالدوال وتكوين دوال جديدة. تساهم في فهم أفضل للعلاقات الرياضية. وتحسين قدرتنا على حل المسائل وتطبيقات الحساب في العديد من المجالات. سواء كنت تعمل في المجالات العلمية أو تهتم بالرياضيات كهواية. 

فإن فهم الدوال المركبة والدوال المعكوسة يمكن أن يوسع آفاقك ويساعدك في بناء نماذج دقيقة وفهم أفضل للظواهر الرياضية والعلمية.

المراجع.

1. الاسمري، لمى. (2017، نوفمبر 16). الدوال العكسية. موقع الرياضيات. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/3GJ5h.
2. خليل، إيناس. (٢٠٢١م، يوليو ١٢). بحث عن الدوال وأنواعها. موقع ملزمتي. تم الاسترجاع من الرابط التالي https://www.mlzamty.com/search-functions-types/.
3. حمدان، فتحي خليل. (2008). أساسيات التفاضل والتكامل. عمان-الأردن: دار وائل للنشر والتوزيع. تم الاسترجاع من الرابط التالي https://platform.almanhal.com/Reader/Book/135.
4. التمثيل البياني لمعكوس الدالة. (2023). نجوى. تم الاسترجاع. من الرابط التالي https://www.nagwa.com/ar/explainers/387192560306/.

------------------------------------------------------------------------------------------

الواجب الكتابي.

انتظر حتى يكتمل التحميل 

-------------------------------------------------------------------------------------------------

مجلة التعلم.

الدوال المركبة.

هي عبارة عن دوال تم تكوينها من توافق دالة أو أكثر مع دالة أخرى. تكون الدوال المركبة عندما يتم وضع الدالة الواحدة (الدالة الداخلية) داخل الدالة الأخرى (الدالة الخارجية). يتم تعريف الدوال المركبة عادة باستخدام الرموز الرياضية والتعابير الرياضية.

كما تعتبر الدالة العكسية كدالة رياضية. وقد تم تسميتها بهذا الاسم لأن في هذه الدالة تكون عناصر المنطلق لهذه الدالة معكوسة نحو اتجاه المجال المقابل لها (خليل،2021 يوليو 12).

بالإشارة الى مفاهيم الدوال المركبة والعكسية. ماهي المفاهيم الضرورية لاستيعاب مفهوم الدوال المركبة والعكسية؟

مفاهيم الدوال المركبة والعكسية تحتاج إلى فهم مفاهيم الدوال الأساسية والعمليات الرياضية الأساسية مثل الجمع والضرب والقسمة والطرح. بالإضافة إلى فهم مفهوم التكامل والتفاضل. وتركيب الدوال والعلاقات العكسية والرموز الرياضية.

يتعين فهم هذه المفاهيم لتمكينك من التعامل بشكل أفضل مع مفاهيم الدوال المركبة والعكسية وتطبيقاتها.

ما هي أبسط الدوال المركبة والعكسية التي تستطيع أن تتخيلهم؟

أبسط الدوال المركبة والعكسية التي يمكنني تخيلها هي:

1. دالة الزيادة والنقصان.

• دالة الزيادة (f(x) = x + 1) تأخذ عددًا وتزيد قيمته بواحد.
• دالة النقصان (g(x) = x - 1) تأخذ عددًا وتنقص قيمته بواحد.

2. دالة التربيع والجذر التربيعي.

• دالة التربيع (f(x) = x^2) تأخذ عددًا وتعيد تربيع قيمته.
• دالة الجذر التربيعي (g(x) = √x) تأخذ عددًا وتعيد جذر التربيعي له.

في أنشطتك اليومية هل يوجد أي حقيقة تستطيع تفسيرها كدالة مركبة او عكسية؟؟

توجد العديد من الحقائق في أنشطتنا اليومية التي يمكن تفسيرها كدالة مركبة أو عكسية. إليك بعض الأمثلة:

1. دالة مركبة.

• طهي الطعام: لتحضير طبق معين. نقوم بتنفيذ مجموعة من الخطوات (الدوال) بترتيب محدد. يمكن اعتبار كل خطوة دالة تأخذ مكونات محددة وتنتج مكونات جديدة. على سبيل المثال. عند تحضير كعكة. نقوم بخلط المكونات الجافة (دالة) ثم نضيف السوائل (دالة) ثم نخبز الخليط (دالة) للحصول على الكعكة النهائية.
• القيادة من مكان إلى آخر: تتكون رحلة القيادة من عدة خطوات (دوال) مثل بدء تشغيل السيارة (دالة) والقيادة على الطريق (دالة) والتوقف عند إشارات المرور (دالة) والوصول إلى الوجهة (دالة).

2. دالة عكسية.

• حل المسائل الحسابية: في بعض الأحيان. نحتاج إلى عكس عملية حسابية للوصول إلى الحل. على سبيل المثال. إذا كنا نعرف أن 2 + 2 = 4. يمكننا استخدام الدالة العكسية (طرح 2 من كلا الجانبين) للوصول إلى 2 = 4 - 2.
• التحويل بين وحدات القياس: عند تحويل وحدة قياس إلى أخرى. نستخدم دالة عكسية.على سبيل المثال. لتحويل 100 كيلومتر إلى أميال. نقسم 100 على 0.621371 (الدالة العكسية لتحويل الأميال إلى كيلومترات).

3. أمثلة أخرى🔍🔎.

• التحويل بين اللغات: ترجمة النص من لغة إلى أخرى هي عملية تتضمن دالة مركبة.
• التشفير وفك التشفير: عملية تحويل المعلومات إلى رموز غير قابلة للفهم (التشفير) ثم إعادة تحويلها إلى المعلومات الأصلية (فك التشفير) هي عملية تتضمن دالة مركبة وعكسية.
• عندما نستخدم السيارة للذهاب من مكان إلى آخر. يمكننا تفسير الزمن كدالة مركبة للمسافة والسرعة. كذلك الأمر عندما نقوم بتحويل درجات الحرارة من مئوية إلى فهرنهايت أو العكس. يمكننا تفسير هذه العملية كدالة عكسية.
• فضلاً عن تفسير العديد من العلاقات الرياضية والفيزيائية كدوال مركبة أو عكسية. مثل العلاقة بين الضغط وحجم الغاز في الفيزياء أو العلاقة بين الإنتاجية وعدد العمال في الاقتصاد.

ملاحظة❓❔ . قد تتضمن بعض العمليات دالة مركبة وعكسية في نفس الوقت

ماهي الاستراتيجية التي ستتبعها لرسم الدوال المركبة والعكسية؟

هناك عدة استراتيجيات يمكن اتباعها لرسم الدوال المركبة والعكسية. إليك بعض الخطوات التي يمكن اتباعها:

1. تحديد العلاقة بين المتغيرات: أول خطوة في رسم دالة مركبة أو عكسية هي تحديد العلاقة بين المتغيرات. على سبيل المثال. إذا كانت هناك علاقة عكسية بين x و y. يمكنك استخدام الصيغة y = 1/x لرسم الدالة.
2. حساب القيم: بعد تحديد العلاقة. يجب حساب القيم المختلفة للمتغيرات. يمكنك استخدام جدول قيم أو حاسبة لحساب القيم.
3. رسم الرسم البياني: بعد حساب القيم. يمكنك رسم الرسم البياني للدالة باستخدام القيم التي حسبتها. يمكنك استخدام أوراق رسم بياني أو برامج رسم بياني مثل Excel أو Desmos.
4. التحليل والتفسير: بمجرد رسم الرسم البياني. يمكنك تحليل النتائج وتفسيرها. يمكنك ملاحظة الاتجاهات والنقاط البارزة على الرسم البياني وفهم كيفية تغير الدالة مع تغير المتغيرات.

باستخدام هذه الاستراتيجيات. يمكنك رسم وتحليل الدوال المركبة والعكسية بشكل فعال وفهم العلاقات بين المتغيرات بشكل أفضل.

المراجع.

خليل، إيناس. (2021 يوليو 12). بحث عن الدوال وأنواعها. ملزمتي. تم الاسترجاع من الرابط https://www.mlzamty.com/search-functions-types/.