استراتيجيات القراءة والكتابة الأكاديمية في الجامعة

 

الدوال الأسيه واللوغاريتمية.

نتعرف في هذه المقالة على نوعين جديدين من أنواع الدوال هما الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية. حيث لها تطبيقات عديدة ومنوعة في حياتنا. وهما دالتان عكسيتان. فيمكن التحويل من دالة أسية إلى دالة لوغاريتمية والعكس.

تعريف الدالة الاسية والدالة اللوغاريتمية.

الدالة الأسية هي دالة مجالها الأعداد الحقيقية ومجالها المقابل الأعداد الحقيقية الموجبة (حمدان، 2023، ص37).

حيث +^f(x)= ax ; f: R -------------R

الدالة اللوغارتمية هو الدالة العكسية للدالة الأسية وبالتالي يكون مجال الدالة اللوغارتمية معرف على مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية

f(x)= loga, a x ; f: R+ -------------R

+^f(x)=log_a (⁡X) ,a ∈R^+;f:R→ R

إذا كانت  X=  log_a⁡Y→Y=a^x 

القسم الأول من المناقشة.

تنمية البكتيريا في البيئة المناسبة لها يتمثل في المعادلة: p(t) =  14.250/((1+29e^(-0.62t) ) ). احسب مايلي:

• كم عدد الأيام التي ستستغرقها البيئة لتصل إلى 75 ٪ من قدرتها الاستيعابية؟ 
• ماهي القدرة الاستيعابية؟ 
•  اذكر العدد الأولي للبكتيريا؟

الحل.

البكتيريا هي أحد أشكال الحياة الدقيقة الأحادية الخلية والتي تتواجد في العديد من البيئات المختلفة. تتميز البكتيريا بأنها لا تحتوي على نواة حقيقية في خلاياها. وتصنف عمومًا ضمن المجموعة الدقيقة المعروفة بـ "الميكروبات". 

 يتواجد البكتيريا في التربة، الماء، الهواء. والجسم البشري وتلعب دورا هاما في العديد من العمليات الحيوية. مثل التحويل البيولوجي وتحلل المواد العضوية. تتوجد البكتيريا في أشكال وأحجام وألوان متنوعة. وتصنف بناءً على صفات مختلفة مثل شكل الخلية، تلوين البكتيريا، ونوع الغشاء الخلوي. (smith,2021)

لحساب عدد الأيام التي ستستغرقها البيئة لتصل إلى 75٪ من قدرتها الاستيعابية. يمكننا استخدام المعادلة المقدمة.

p(t) =  14.250/((1+29e^(-0.62t) ) ).

المعادلة بشكلها العام والخاص بنمو البكتريا هو:  p(t) =  C/((1+ae^(-b×t) ) ) .

• C = 14250 ويمثل القدرة الاستيعابية.
• a=29 ويمثل معدل النمو.
• e وهو متغير.
• t هو الزمن اللازم لنمو البكتريا.
• b=0.62.

لحساب القدرة الاستيعابية عند القيمة 75%:  14250*75/100 = 10687.5.


لحساب الفترة الزمنية يجب حساب t عند بلوغ البكتريا للقدرة الاستيعابية ( 10687.5).

نستخدم المعادلة:    p(t) =  C/((1+ae^(-b×t) ) ).

وبالتالي  : (1+ae^(-b×t) )×(p(t))/(p(t))=  C/(p(t))   .

(1+ae^(-b×t) )=  C/(p(t))  .

(ae^(-b×t) )=  C/(p(t))-1 .

نقسم الطرفين على a:

 
(e^(-b×t) )=1/a  ×[C/(p(t))-1]  .

للتخلص من e نستخدم خواص اللوغاريتم للطرفين:

ln(e^(-b×t) )=ln{1/a  ×[C/(p(t))-1]}  .

(-bt)=ln{1/a  ×[C/(p(t))-1]} .

(t)=ln{1/a  ×[C/(p(t))-1]}/(-b) .  وبالتعويض ينتج لدينا:

(t)=ln{1/29  ×[14250/10687.5-1]}/(-0.62)=7.3 .

أي نحتاج لفترة زمنية هي 7.3 أيام لبلوغ العدد المطلوب 10687.5.

يمكننا حساب الحد الذي يقترب منه عدد البكتيريا عندما يقترب t من اللانهائية، وذلك باستخدام الرمز الرياضي "lim"

lim(t→∞) p(t) = 14.250/((1+29e^(-0.62t) ) )  .

لحساب القيمة، يمكن استخدام حاسبة أو القيام بحوسبة تقريبية. يمكن اعتبار القيمة الثابتة بعد عدد كبير من الأيام حوالي 14,250.

لحساب العدد الأولي للبكتيريا، يمكن وضع t في المعادلة على أن يكون t=0:

p(0) = 14.250/((1+29e^(-0.62(0)) ) )  .

p(0)=14250/(1+29) =14250/30 = 475

وبالتالي، فإن العدد الأولي للبكتيريا هو 14,250 عند الزمن المساوي للصفر عند البدء

القسم الثاني.

وماهي الأسباب التي تجعل نموذج مثل p(t) = p_0 e^Kt غير مقبول، مع العلم أن تمثل العدد الأولي للبكتيريا؟ وماهي فوائد النموذج اللوغاريتمي؟

إن نموذج مثل p(t) = p_0 e^Kt ليس دقيقًا في كل الحالات لأنه يفترض نموًا مستمرًا بمعدل ثابت.

لأن نمو البكتريا مرتبطة فقط بالعدد الأولي للبكتريا والزمن. وهذا غير ممكن لأنها لم تضع حدود لنمو البكتريا. فهناك عوامل أخرى تساهم في نمو البكتريا في الطبيعة لم تذكر في هذه المعادلة. وبالتالي قد تؤثر في نمو البكتريا في التقليل أو زيادة النمو.

وهنا دالة أسية لا محدودة وهذا غير مقبول أن تنمو البكتريا إلى اللانهاية.

ومع ذلك، في بعض الحالات. قد يتم استخدامه لتمثيل نمو بعض الكائنات الحية البسيطة. مع العلم أنه لا ينطبق بشكل صحيح على النمو البكتيري (smith, 2020).

يمكننا ذكر بعض العوامل. التي تجعل من نموذج p(t) = p_0 e^Kt المستخدم عادة لوصف نمو البكتيريا أو الكائنات الحية الأخرى وهي:

• عدم توافر الظروف المثلى: قد يكون النموذج غير مقبول إذا كانت هناك عوامل خارجية. تؤثر على نمو البكتيريا مثل نقص الموارد أو وجود عوامل مثيرة للضغط.
• تغير معدل النمو: قد يتغير معدل النمو K مع مرور الوقت. وهذا لا يتمثل في النموذج اللوغاريتمي.
• عدم تطابق البيانات: قد لا يكون النموذج اللوغاريتمي مناسبًا إذا لم يتطابق مع البيانات الفعلية لنمو البكتيريا.

فوائد النموذج اللوغاريتمي.

فوائد النموذج اللوغاريتمي تشمل:

يستخدم لتحديد عمر الجنين ومعرفة مدة الحمل. ومعرفة شدة الأصوات أو التقاط الصور. كما يستفاد منه في علم الآثار من أجل تعيين العمر الحقيقي للقطعة الأثرية المراد تقييمها (محمدي، 2023 /10/14).

• سهولة التحليل: يسهل تحليل وفهم النموذج اللوغاريتمي بسبب بساطته وقابليته للتكامل والتفاضل.
• تنبؤ النمو: يمكن استخدام النموذج اللوغاريتمي لتنبؤ كمية البكتيريا في المستقبل بناءً على البيانات المتاحة.
• التطبيقات العملية: يستخدم النموذج اللوغاريتمي في مجالات مختلفة مثل علم الأحياء والزراعة والصناعة.

فوائد النموذج اللوغاريتمي تتمثل في قدرته على توصيف النمو البيولوجي. بصورة أفضل في حالة عدم وجود نمو مستمر بمعدل ثابت. k يمكنه أيضًا التعبير عن التغير في النمو على مر الزمن بمعدل أبطأ أو أسرع على النحو الذي يمكن ضبطه باستخدام القيمة.

القسم الثالث من المناقشة.

قم بالنقر على رابط الآله الحاسبة التالي: www.desmos.com/calculator

وقم بكتابة الدالتبن الآتيتين:

(1) y = 14250 / (1 + 29 . e-0.62 x) {0 < x < 15} {0 < y < 15000}

(2) y = 14300 {0 < x < 15}

ارسم الرسم البياني الذي حصلت عليه

ولدينا الخط البياني الممثل للمعادلة:

https://www.desmos.com/calculator/z04nd5uagb .

مما سبق نكون قد مثلنا النموذج اللوغاريتمي للبكتيريا والتي تعتبر أحد أشكال الحياة الدقيقة المتواجدة في العديد من البيئات المختلفة، وتلعب دورا مهماً في العديد من العمليات الحيوية مثل التحويل البيولوجي وتحلل المواد العضوية. وتصنف بناءً على صفات مختلفة مثل شكل الخلية، تلوين البكتيريا، ونوع الغشاء الخلوي (smith,2021).
كما يظهر من الرسم كيفية النمو الطبيعي للبكتريا في البيئة المحيطة المناسبة لها.

المراجع.

1. حمدان، فتحي خليل. (2023). الرياضيات للعلوم الإدارية والمالية. عمان: دار وائل للنشر والتوزيع. ملف pdf. منصة المنهل. تم الاسترجاع من الرابط https://platform.almanhal.com/Details/Book/82
2. محمدي، آلاء. (2023/10/14). ما هي أهمية اللوغاريتمات في حياتنا يشكل عام؟. موقع مفاهيم. تم الاسترجاع من الرابط https://mafahem.com/%D8%A7%D9%84%D9%84%D9%88%D8%BA%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%AA%D9%85
3. Smith, J. D. (2021). Bacteria: An Introduction. Cambridge University Press. 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

الواجب الكتابي.

انتظر حتى يكتمل التحميل 👇

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

مجلة التعلم.

ماهي المفاهيم (من فضلك اذكر الأسماء فقط) التي احتجت إليها لاستيعاب مفهوم الدوال الأسية واللوغاريتمية؟

لفهم مفهوم الدوال الأسية واللوغاريتمية، قد تحتاج إلى الفهم المسبق للعديد من المفاهيم الرياضية. نذكر بعض من الأسماء الرئيسية لتلك المفاهيم:

• الأسس والتراكيب الأسية مثل الفهم الجيد لكيفية رفع عدد إلى أس معين، وفهم كيفية عمل الأسس والتأثير على الأعداد.
• اللوغاريتمات. مثل مفهوم اللوغاريتمات وكيفية تفسيرها عكسيًا للأسس والعلاقة بين الأسس واللوغاريتمات.
• التفاضل والتكامل. حيث يمكن أن يكون لها دور في فهم الدوال الأسية واستيعاب كيفية حساب المشتقة والتكامل للدوال.
• الرياضيات المالية. كفهم كيفية حساب الفوائد المركبة في السياق المالي، وهي مرتبطة باللوغاريتمات.

ما هي أبسط الدوال الأسية اللوغاريتمية التي تستطيع أن تتخيلهم بأساس b≠1 ؟

أبسط الدوال الأسية اللوغاريتمية التي يمكن تصورها بأساس غير مساوٍ للوحدة هي:

• اللوغاريتم الطبيعي (الأساس e): يمثلها الدالة ln(x)، حيث تكون القاعدة (e) تقريبًا تساوي 2.71828.
• اللوغاريتم العاشر: يمثلها الدالة log10(x)، حيث يكون الأساس 10.

وفي أنشطتك اليومية هل يوجد أي حقيقة تستطيع تفسيرها كدالة أسية ولوغاريتمية؟

لنأخذ مثالًا على استخدام الدالة الأسية في حياتنا اليومية فيما يتعلق بنمط نمو الديون المالية. لنفترض أن لدينا قرضًا بمبلغ معين وندفع نسبة ثابتة من هذا المبلغ كفائدة شهرية. يمكننا استخدام الدالة الأسية. لحساب المبلغ الكلي الذي ندين به عند نهاية كل شهر.

وللتوضيح يمكن القول أن لدينا مبلغ قرض بقيمة 10000 دولار. وندفع 2% من المبلغ كفائدة شهرية. يمكن تمثيل هذا باستخدام الدالة الأسية التالية:

D(t)=P×(〖(1+r)〗^t )

حيث:

• D (t) هو المبلغ الكلي المدين بعد مرور (t) أشهر.
• (P) هو المبلغ الرئيسي للقرض (في هذه الحالة 10000 دولار).
• (r) هو معدل الفائدة الشهري ككسر (في هذه الحالة 0.02 لتمثيل 2%).
• (t) هو عدد الشهور.

هذه الدالة تصف نمو المبلغ المدين بنسبة ثابتة شهريًا. عندما نقوم بتحديد قيم للمتغيرات ((P)، (r)، (t))، يمكننا حساب المبلغ الكلي المدين بعد فترة زمنية محددة.
أما عن الأس اللوغاريتمي في حياتنا اليومية فنذكر: الرصيد البنكي والفوائد.

في حسابات البنوك، يمكن استخدام اللوغاريتمات لحساب كمية المال. التي ستكون متاحة بعد فترة زمنية معينة. بناءً على معدل الفائدة المركبة. لنفترض أن لدينا حسابًا بنكيًا مع رصيد بداية 5000 دولار ونحصل على فائدة سنوية بنسبة 4%. يمكن حساب الرصيد النهائي باستخدام اللوغاريتم:

B(t)=B_0×e^rt .

حيث:

• B(t) هو الرصيد بعد مرور (t) سنة.
• B0 هو الرصيد الابتدائي (5000 دولار).
• (r) هو معدل الفائدة السنوي ككسر (0.04 لتمثيل 4%).
• (t) هو عدد السنوات.

هذه اللوغاريتمية توضح كيف يتغير الرصيد البنكي على مر الزمن بناءً على معدل الفائدة المركبة.

ماهي الاستراتيجية التي ستتبعها لرسم الدوال الأسية واللوغاريتمية؟

لرسم الدوال الأسية نتبع الاستراتيجيات التالية:

1- تحديد نطاق القيم للمتغيرات (x) و (y) الذي نريد دراسته.

استخدام الجداول. نعد جدولًا لقيم (x) ومن ثم حساب القيم المقابلة للدالة (y) باستخدام الدالة الأسية.مع البدء بالنقاط رئيسية مثل (x = 0) و (x = 1) لرسم الدالة الأسية، والتركيز على نقاط رئيسية مثل (x = 1) و (x = 10) للدالة اللوغاريتمية.

2- الرسم.

باستخدام النقاط المحسوبة لرسم الدالة على نظام الإحداثيات مع اتباع الاتجاه العام للرسم باستخدام النقاط المحسوبة.

3- التحليل.

قم بتحليل السلوك العام للدالة، مثل اتجاه النمو ونقاط التقاطع مع المحورين.

في الختام👈يمكن القول إن التوابع الأسية واللوغاريتمية تعتبر ضرورية في الرياضيات والعلوم. فهي تستخدم لتمثيل العديد من الظواهر والعلاقات في عالمنا الحقيقي. حيث توفر لنا التوابع الأسية القدرة على تحويل العمليات الحسابية المعقدة إلى عمليات بسيطة يسهل حسابها، مما يسهل عملية دراسة وتحليل الأعداد.

أما التوابع اللوغاريتمية، فهي مهمة لتحليل النماذج النسبية وتستخدم في العديد من المجالات مثل الاقتصاد والعلوم الطبيعية والحوسبة. تمتاز هذه التوابع بخاصية تحويل العمليات الضرب والقوة إلى عمليات جمع وطرح بسيطة.

المراجع.

1. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
2. Tarigan, D. (2008). Applied mathematics and science. Sinaga Press.