بكالوريا علوم 2024 - نماذج أتمتة مع الحل لمادة العلوم (شامل)

ما هو مفهوم المجموعات؟

المجموعة (Set) هي واحدة من المفاهيم الأساسية في الرياضيات. وتُستخدم لتجميع عناصر متشابهة أو مرتبطة ببعضها وفقًا لخاصية محددة.

بمعنى آخر المجموعة هي تجمع من العناصر (أشياء. أعداد. رموز. ...) تُعتبر ككيان واحد.

🔓 يُشار إلى المجموعات عادةً بحروف كبيرة مثل A,B,C,…A,B,C,…. بينما يُرمز لعناصرها بحروف صغيرة مثل a,b,c,…a,b,c,….

🔓 إذا كان العنصر x ينتمي إلى المجموعة A. نكتب x∈A.

🔓 إذا لم يكن y عنصرًا في A . نكتب y∉A.

ما هي العلاقات بين المجموعات في الرياضيات؟

لندرس الحالة التالية : لتكن U= {1,2,3,4,5} . A={1,2,3} and B = {2,3,4}

أولاً -  صف العلاقات بين كل من هذه المجموعات. استعمل كلماتك الخاصة

لدينا ثلاث مجموعات ( U) و ( A) و ( B) وتلك العلاقات بين هذه المجموعات يمكن وصفها كما يلي:

1. العلاقة بين ( A) و ( U):

مجموعة ( A) هي جزء من المجموعة الشاملة ( U) لأن كل عنصر في ( A) (وهي الأعداد 1 و 2 و 3) هو عنصر أيضًا في ( U) (التي تحتوي على الأعداد 1، 2، 3، 4، 5). هذا يعني أن ( A ⊆ U) أي أن ( A) هي مجموعة جزئية من ( U) (قدسية، 2018، ص11).

2. العلاقة بين ( B) و ( U):

مجموعة ( B) هي أيضًا جزء من المجموعة الشاملة ( U). حيث أن كل عنصر في ( B) (وهي الأعداد 2 و 3 و 4) هو أيضًا عنصر في ( U). بالتالي. (U ⊇B) أي ان B هي مجموعة جزئية من U.

3. العلاقة بين ( A ) و ( B ):

يمكننا القول ان هناك بعض التداخل والاشتراك بين عناصر المجموعتين (A) و (B). حيث يشتركان في العناصر 2 و 3. ولكن كل من المجموعتين يحتوي أيضًا على عناصر خاصة به. فمثلاَ المجموعة (A) تحتوي على العدد 1. وهو غير موجود في المجموعة (B).

بينما المجموعة (B) تحتوي على العدد 4. وهو غير موجود في المجموعة (A). هذا يعني أن تقاطع (A) و (B) هو ( {2, 3} ) أي العناصر المشتركة بين المجموعتين. بينما اتحاد ( A ) و ( B ) هو ( {1, 2, 3, 4} ) وهو العناصر المشتركة وغير المشتركة.

ملخص العلاقات:

U ⊇A

U ⊇B

B ⋂ A =  {2, 3}

B ⋃ A ={1,2,3,4 }

ثانياً -  صف العلاقات بين هذه المجموعات مستعملاً الرموز الرياضية (الجمل !)

يمكننا وصف العلاقات بين المجموعات ( U ) و ( A ) و ( B ) باستخدام الرموز الرياضية:

وبالاعتماد على المجموعات المفوضة سابقاً وهي: U= {1,2,3,4,5} . A={1,2,3} and B = {2,3,4}

1. العلاقة بين ( A ) و ( U ):

U ⊇A أي أن كل عنصر في ( A ) هو أيضًا عنصر في ( U ).

2. العلاقة بين ( B ) و ( U ):

U ⊇B أي أن كل عنصر في ( B ) هو أيضًا عنصر في ( U ).

3. العلاقة بين ( A ) و ( B ):

🔑 التقاطع (العناصر المشتركة بين ( A ) و ( B )): B ⋂ A =   {3, 2}

🔑 الاتحاد أو الاجتماع (جميع العناصر التي تنتمي إلى ( A ) أو ( B )): B ⋃ A ={4,3,2,1 }

🔑 الفرق (العناصر التي توجد في ( A ) ولكن ليست في ( B )): B - A = {1} أي A\B = 1

والعكس: A - B = {4} أي B\A = 4

وبالتالي فإن ملخص العلاقات بالرموز:

U ⊇A

U ⊇B

B ⋂ A ={3, 2}

B ⋃ A ={4,3,2,1 }

B - A = {1} أي A\B = 1

A - B = {4} أي B\A = 4

📌 نُرشح لك هذا المرجع العلمي القيم: كتاب «الرياضيات المتقطعة لطلبة العلوم والحاسوب». 

                                                              حمّله الآن من هنا 👇

تحميل

3- نريد أن تكون مجموعة S=Ac ∩B. ما هي S؟ (تلميح ! الرمز Ac هو المتمم للرمز A )

لحساب المجموعة ( S = A^c ∩ B ) (حيث ( A^c ) هو متمم المجموعة ( A )). يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. حساب متمم ( A ) داخل المجموعة الشاملة ( U ):

متمم ( A ) يعني جميع العناصر في ( U ) التي ليست في ( A ).

بما أن ( A = {1, 2, 3}} ) و ( U = {1, 2, 3, 4, 5}} ). فإن:

A^c = U – A = {4, 5}

2. التقاطع بين ( A^c ) و ( B ): نأخذ الآن تقاطع ( A^c ) مع ( B ).

B = {2,3,4} و A^c ={4,5} . العناصر المشتركة بينهما هي: B ⋂ A^c ={4}

إذن. المجموعة S = B ⋂ A^c

هي: S = {4}

رابعاً -  ارسم مخطط فن للرمز S.

ما معنى مخطط فن؟

تستعمل مخططات فن لتسهيل التعامل مع مختلف المجموعات. حيث يمثل ما في داخل المستطيل عن المجموعة الشاملة Ω. وتمثل الدوائر الموجودة داخل المستطيل إلى المجموعات الأخرى (قدسية، 2018، ص12).

خامساً - كم عدد عناصر المجموعة P(U) اشرح لماذا؟

المجموعة ( P(U)) هي مجموعة جميع المجموعات الفرعية (أو المجموعات الجزئية) للمجموعة ( U). لتحديد عدد عناصر P(U) . يجب علينا أولاً معرفة عدد العناصر في المجموعة ( U).

في هذا السياق. المجموعة (U) هي { 1,2,3,4,5}. وبالتالي تحتوي على 5 عناصر.

كيفية حساب عدد عناصر P(U):

🔔 عدد العناصر في ( U) هو 5.

🔔 عدد المجموعات الفرعية لمجموعة: إذا كانت المجموعة تحتوي على (n) عناصر. فإن عدد المجموعات الفرعية لهذه المجموعة هو ( 2n). (الأشهب، 2024، ص48).

- في هذه الحالة. ( n = 5). لذا. عدد المجموعات الفرعية هو (25).

🔔 حساب (25): (25) = 2*2*2*2*2 = 32

إذن. عدد عناصر المجموعة P(U) هو 32.

لماذا يكون العدد هكذا؟

1. كل عنصر في المجموعة (U) يمكن أن يكون إما في مجموعة فرعية معينة أو لا يكون فيها. لذا. لكل عنصر في المجموعة (U). لديك خياران (إما أن يكون في المجموعة الفرعية أو لا يكون فيها).
2. بما أن هناك 5 عناصر في المجموعة (U). فإن عدد الطرق لاختيار أي مجموعة فرعية من بين هذه العناصر هو (25). وهذا يعطيك 32 مجموعة فرعية مختلفة.

إذاً. مجموعة المجموعات الفرعية P(U) تحتوي على 32 مجموعة فرعية.

المراجع.

1. الأشهب، سليم شفيق. (2024). الرياضيات المتقطعة لطلبة العلوم والحاسوب. دار المناهج للنشر والتوزيع. ملف pdf. منصة المنهل. تم الاسترجاع من الرابط https://platform.almanhal.com/Details/Book/36320.
2. قدسية، رامز. (2018). الجبر الرياضي. من منشورات الجامعة الافتراضية. دمشق. سوريا.