استراتيجيات القراءة والكتابة الأكاديمية في الجامعة

ما هو مفهوم الدالة؟

الطبيعة والتكنولوجيا وحياتنا اليومية مليئة بالأحداث الرقمية x  و  y . لذلك يتوجب علينا البحث عن العلاقة بين المتغيرين x  وy وتصورها وفهمها. لأهميتها الكبيرة في مجال الرياضيات.

الصورة المتعارف عليها للدالة (y=f(x  . توضح أن كل x في مجال f تناظرها قيمة واحدة y في مدى f . وهذا يعني أن كل خط رأسي يقطع منحنى هذه الدالة في نقطة واحدة على الأكثر.

تكون علاقة ƒ من مجموعة X (نطاق الدالة) إلى مجموعة Υ (النطاق المصاحب) هي دالة. إذا كان كل عنصر من المجموعة X يرتبط بعلاقة مع عنصر وحيد على الأكثر من المجموعة Υ.

حيث إن (X)ƒ يعتبر العنصر التابع والمرتبط مع X .

وبالتالي نقول العنصر Υ ƒ(X) = يمثل صورة X من خلال الدالة ƒ، بينما X هو أصل Υ =ƒ(X) .

ويرمز للتابع f∶X→Y.

وبالتالي يمكن ترميز العلاقة بين X وΥ بالعلاقة Υ =ƒ(X)  (الشرعبي، 28 يناير 2022).

وللدالة أنواع عديدة نذكر بعضها: (عيسى، 15 مايو 2023). 

• الدالة الثابتة وصيغتها: f (x)= a.
• الدالة المحايدة وصيغتها: f (x) = x.
• الدالة الجبرية وصيغتها: f(x)=x² + 3x + 6.
• الدالة التربيعية وصيغتها: f (x) = ax2 + bx + c.
• الدالة الكسرية وصيغتها: R (x)= P (x) / Q (x).
• الدالة المثلثية وصيغتها: y=sin (x), y = cos (x), y = tan (x).
• الدالة اللوغاريتمية وصيغتها: (f(x)=log a(x.
• الدالة الأسية وصيغتها: f(x)=ax, a > 0, a ≠1 أو axe.
• الدالة التكعيبية وصيغتها: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d.

هل تمثل هذه العلاقةy^2 = 2 +(x-3) دالة ولماذا ؟

هذه العلاقة لا تمثل دالة لأنها ليست متماثلة لصيغة دالة. لا تمثل دالة لأنها بالنسبة لبعض قيم x . هناك أكثر من قيمة محتملة. حيث إن في صيغ الدوال، يجب أن يكون هناك متغير واحد مرتبط بمتغير آخر بشكل محدد.

أما في هذه العلاقة، فيوجد متغيران (x وy) مرتبطان ببعضهما البعض وبالثابت (2)، مما يجعلها علاقة وليس دالة.

على سبيل المثال، عندما تكون x = 3، يمكن أن تكون y إما 1 أو -1. يجب أن تحتوي الدالة على مخرجات فريدة لكل إدخال.

اقرأ أيضاً كثيرات الحدود والدالة الكسرية في حياتنا - واجبات Unit3 جبر جامعي.

اقرأ أيضاً الرسومات البيانية والدوال الخطية والتربيعية - واجبات Unit 2 الجبر الجامعي.

حالة أولى: إذا كانت لا تمثل دالة فحولها إلى دالة مع ذكر النطاق (المجال) والمدى.

باعتبارها لا تمثل دالة، يمكننا تحويلها لتصبح دالة y تتبع لـ x بأن نكتبها بالشكل y = f(x).

لدينا العلاقة التالية      y^2+(x-3)=2  وبالتالي بفك المعادلة نحصل على :

y = √(2-x+3) = √(5-x)

وعلى سبيل المثال، إذا اخترنا الجذر الموجب، نحصل على. y = √(2-x+3) = √(5-x) 

وهنا المجال هو: ]-∞ ,5]، والمدى هو : [0 ,∞-[.

هذه دالة لأن كل قيمة x تقابل قيمة واحدة بالضبط من. y مجال) نطاق (هذه الدالة هو مجموعة قيم x التي تجعل التعبير تحت الجذر التربيعي غير سالب، وهو:  [5, -∞) x ≤ 5.

والمدى لهذه الدالة هو مجموعة قيم y الممكنة، وهي: [0, ∞) ; y ≥ 0.

حالة ثانية: عبّرعن y كدالة في x ، على شكل y= f(x) .

يمكننا التعبير عن y كدالة لـ x بالصيغة y = f(x) بالكتابة.  f(x) = √(5-x) . ويمكن تمثيلها بالخط البياني الموضح في الشكل (1).

حالة ثالثة: عبّر عن x كدالة في y ، على شكل x= g(y) . مع تحديد النطاق والمدى في كل حالة مع مراعاة رسم كل حالة للتوضيح.

للتعبير عن x كدالة لـ y في الصيغة x = g(y)، يمكننا حل x بدلالة y عن طريق تربيع طرفي المعادلة وإعادة ترتيب الحدود. نحن نحصل:

x = 5 - y^2

وهذه أيضًا دالة لأن كل قيمة لـ y تقابل قيمة واحدة بالضبط لـ x. مجال هذه الدالة هو مجموعة قيم y الممكنة، وهي:

(y ∈ ℝ ([0,+- ∞).

والمدى لهذه الدالة هو مجموعة قيم x التي تجعل التعبير تحت الجذر التربيعي غير سالب، وهو:

x ≤ 5; [5, -∞)

يمكننا التعبير عن x كدالة لـ y بالصيغة x = g(y) بالكتابة.  g(y) = 5 - y^2

ويمكننا تمثيلها بالخط البياني الموضح بالشكل (2).

اشرح ماذا تمثل النقط (4,1), (2,1), (3,0) (1,0), للعلاقة 2 = y^2 +(x-3).

تمثل النقاط التالية: (4,1), (2,1), (3,0) (1,0), بعض الحلول الممكنة بالنسبة للعلاقة السابقة.

لمعرفة ذلك نقوم بتعويض النقاط في المعادلة الرئيسية واذا تحققت فإن تلك النقطة هي حل للمعادلة وتقع على رسمها البياني.

على سبيل المثال، إذا عوضنا بـ x = 4 و y = 1 في المعادلة، فسنحصل على:

(1)^2+ (4-3)=2.

1+1=2 صحيح.

هذا صحيح، إذن (4,1) هو حل.

نجد أن النقطة (4,1) تنتمي للخط البياني (المجال). بينما النقاط الأخرى لا تنتمي إلى هذا الخط.

وعند تعويض باقي النقاط في المعادلة نجد أنها لا تحققها، اي خارج الرسم البياني للمعادلة، كما يظهر في الشكل (3).

نستنتج مما سبق أن الدوال هي تمثيل رياضي يربط مجموعة عناصر تسمى المنطلق مع مجموعة عناصر أخرى تسمى المستقر.

المصادر في نهاية المقال👇.

الواجب الكتابي الوحدة الأولى.

مجلة التعلم وحدة 1.

لفهم مفهوم الدالة، يحتاج الشخص إلى فهم أن الدالة هي علاقة رياضية تربط مجموعة من الأرقام الحقيقية (المتغير المستقل) بمجموعة أخرى من الأرقام الحقيقية (المتغير المعتمد).

وبالتالي يمكن ان نعرف الدالة بأنها علاقة بين متغيرين ترتبط فيها البيانات والقيم المدخلة بالبيانات والقيم المخرجة، أي تتكون الدالة من مجموعة من الأزواج المرتبة (x، f (x))، حيث من خلال تعيين قيم مختلفة لـ x سينتج قيم f (x) المقابلة لها وبالتالي فالدالة هي علاقة تربط المدخلات بالمخرجات بحيث يكون لكل قيمة مدخلة قيمة واحدة مخرجة (عبد السلام، 2022).

وعندما نريد توضيح معنى الدالة يمكننا تسليط الضوء على المصطلحات الرياضية المرتبطة بمصطلح الدالة واستعمالاتها، كمفاهيم التابع والمتغير والمجال والمدى وغيرها من المفاهيم الأخرى. وجميع هذه المصطلحات درسناها في المرحلة الثانوية ضمن مادة الرياضيات.

وللدالة أنواع عديدة ذكرناها سابقاً 👆 في بداية المقال.

مثال على دالة.

بالنسبة للدالة f (x) = -√ (2 - x) ، يمكنني تخيلها كدالة تأخذ قيم x وتحسب جذر التربيعي لناتج الطرح (2 - x) ، ثم نضع إشارة السالب امام الناتج.

هل يوجد أي حقيقة تستطيع تفسيرها كدالة من خلال النشاطت اليومية؟ 

تدخل الدوال الرياضية في معظم جوانب حياتنا اليومية ونشاطاتها دون الشعور بها، ومثال على ذلك عندما يكون لدينا مهمة حل واجب فيعتبر مقدار الوقت اللازم لحل هذا الوجب هو دالة.

ومثال آخر حيث تم صناعة عجلات مربعة للسيارات لتسير في الطرقات ذات المطبات والحفر الكثيرة دون أن يشعر بها الركاب، وتم ذلك بتطبيق دالة الجتا الرياضية (المسفر، نوفمبر 2017).

ماهي الاستراتيجية التي يمكن اتباعها لرسم الدالة؟

لرسم الدالة f (x) = -√ (2 - x) ، بحيث x تنتمي للمجال [2، ꚙ - [،  يمكننا اتباع استراتيجية التحليل التفاضلي. حيث يمكننا تحديد النقاط الحرجة مثل الأصل (0،0) و(0،2) نقطة التقاطع  مع المحورx . ثم يمكننا حساب قيم f (x) لبعض القيم المختارة لـ x ورسم النقاط المقابلة. 

بعد ذلك ، يمكننا رسم منحنى أملس يمر بالنقاط المحسوبة.

أو من خلال برنامج desmos حيث يعطينا الرسم البياني بمجرد اعطاءه الدالة المختارة كما في المخطط البياني التالي. من خلال الرابط https://www.desmos.com/calculator/ucmsnrgbuf.

في الختام 👈 يعتبر مفهوم الدالة من أكثر المفاهيم الرياضية استخداماً وتطبيقاً في نشاطاتنا الحياتية اليومية في مختلف العلوم. وتعيين مجالها ومداها من اهم القضايا الرياضية وفي مجالات متعددة، حيث تبين ان للدالة عدد كبير من الاستخدامات.

المراجع.

1. الشرعبي، محمد. (28 يناير 2022). أنواع الدوال في الرياضيات. ملف PDF. موقع الفريد. تم الاسترجاع من الرابط https://www.alfreed-ph.com/2018/02/Types-of-functions-pdf.html#0.
2. المسفر، الجوهرة فلاح. (نوفمبر 2017). تطبيقات الدوال في حياتنا. موقع الجوهرة. تم الاسترجاع من الرابط https://aljawhara1421.wordpress.com/ .
3. عبد السلام. (20 نوفمبر, 2022). تعريف الدالة. اعرفها صح. تم الاسترجاع من الرابط https://www.doenglishi.com/%D8%AA%D8%B9%D8%B1%D9%8A%D9%81-%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%A7%D9%84%D9%87/
4. عيسي، مؤمن محمد. (15 مايو 2023). بحث عن الدوال وأنواع الدالة. موقع قبيلة. تم الاسترجاع من الرابط https://qabilaa.com/%D8%A8%D8%AD%D8%AB-%D8%B9%D9%86-%D8%A7%D9%84%D8%AF%D9%88%D8%A7%D9%84/#__PDF.